Particle-hole symmetry, K-symmetry
写在前面.
这是一个一直困惑我的问题，这几天也在了解调研。因为的确，我在了解费米液体时涉及到这种对称性；打破Luttinger定理涉及到打破这个对称性；（半满）Hubbard 模型具有这样的对称性，大部分超导体有这样的对称性。我们总是直接谈论这样的对称性，但我对它的形式理论却完全不了解，也并不知道它如何为我们带来更多.
刚开始看这篇讲义（文章）[Martin R. Zirnbauer, 2015]，看起来似乎可以解答我很多疑惑，因此本文行文过程中可能有多数是阅读这篇文章留意的问题，或者被解答之后写下的笔记.
因为网上中文资料似乎比较少，因此这篇用中文写.
Particle-hole symmetry
一句话描述粒子-空穴对称的特质：
Particle-hole symmetries for electrons in condensed matter are to be defined as complex antilinear operations that commute with the true quantum Hamiltonian.
- antilinear. 2. complex. 3. commute with Hamiltonian
- Definition.
A Hamiltonian has the particle-hole symmetry if $KHK^{-1} = -H$.
但我们后面会发现，既有 $KHK^{-1} = -H$ 的，也有 $KHK^{-1} = H$ 的.
What is $K$ in physically speaking?
$$ K{\color{pink}\text{create}(\ket{j})}K^{-1} = {\color{red}\text{create}(\bra{l})}, \\ K{\color{pink}\text{annihilation}(\ket{l})}K^{-1} = {\color{red}\text{annihilation}(\bra{j})} $$其中, $\ket{j} >0 \in V_+, \ket{l} <0 \in V_-,$ 以及对偶空间 $\bra{j} \in V^*_+, \bra{l}\in V^*_-$.
这个式子的物理意义是：在能量高的空间中 $V_+$ 激发一个粒子，约等于在对偶能量低空间中激发一个粒子（我们称之为空穴）。在低能量空间 $V_-$ 湮灭一个particle，这等同于在对偶高能量空间湮灭一个hole。因此明确对偶空间干了什么事，可以直接简单粗暴的理解对偶空间描述的是空穴. 比如 $a_j \ket{vac} = 0, a^\dagger_l \ket{vac}=0$.
On Fock space, 二次量子化后的哈密顿量，涉及到产生湮灭算符，因此允许 $a_j \leftrightarrow a_i^\dagger$ 进行互换以代替这样的对偶操作，我们替换掉了“对偶”、“空穴”这样的语言，而是换成产生-湮灭算符作用于占据态的语言。
即
$$ {\color{pink}\text{create}(\ket{j})} \to {\color{pink}\text{create a particle on site }j} \to a^\dagger_j \\ {\color{pink}\text{create}(\bra{l})} \to {\color{pink}\text{create a hole on site }l} \to a_l $$ $$ {\color{pink}\text{annihilation}(\ket{l})} \to {\color{pink}\text{annihilation a particle on site }l} \to a_j \\ {\color{pink}\text{annihilation}(\bra{j})} \to {\color{pink}\text{annihilation a hole on site }j} \to a^\dagger_j $$因此，这里直接代入到最上面的表达式，写出一种较为 general 的形式
$$ Ka_j^\dagger K^{-1} = a_l, \quad Ka_l K^{-1} = a_j^\dagger , \\ Ka_l^\dagger K^{-1} = a_j, \quad Ka_j K^{-1} = a_l^\dagger $$值得注意的是，产生湮灭算符的下标在这里是不同的，也就是说并不是 $a_j \leftrightarrow a_i^\dagger$，你不得不小心谨慎。这一点是 $\Gamma$ 操作导致的，你可以最初步的理解为能量交换。